Planeta Matemático - El número y su origen primitivo

Desde el punto de visto histórico, una de las cuestiones especulativas que ha provocado vivas discusiones en el estudio de la aritmética ha sido el origen de los números, y ha llevado a un gran número de investigaciones entre las lenguas primitivas y salvajes de la raza humana. ¿Cuándo comenzó la humanidad a pensar en términos de números? La tradición pretende que la ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo V a. C., pero los documentos históricos que poseemos actualmente nos permiten suponer la existencia de relaciones numéricas muy anteriores al nacimiento de las grandes civilizaciones antiguas. En los hechos actuales nada nos impide establecer el nacimiento de ciertas relaciones matemáticas en los primeros tiempos de la humanidad. Con la prehistoria, nos encontramos en la fase de las conjeturas. Nos vemos obligados a depender de interpretaciones que se basan en los pocos utensilios y documentos que se han conservado. Gracias a los trabajos de antropólogos y etnólogos podremos, sin embargo, intentar reconstruir el proceso natural que el hombre primitivo ha podido utilizar para enumerar objetos concretos o para tratar de hacer balance de los elementos contados.

En un principio, con anterioridad a la existencia de un lenguaje que favoreciera la comunicación verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos tales como la diferencia entre un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Estas primeras observaciones le condujeron a la noción de "correspondencia biunívoca", que otorga la posibilidad de comparar fácilmente dos conjuntos de seres u objetos, tengan o no la misma naturaleza, sin necesidad de cuenta abstracta. El objeto observado es el centro de la atención visual del hombre primitivo, y la desaparición de este objeto lleva consigo la pérdida del estímulo, la ausencia de número.

El hombre primitivo, a partir de estas observaciones, extrae de forma gradual la idea de comparación y asocia un signo a cada objeto observado. Es decir, utiliza la "correspondencia biunívoca" para asociar a una colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada: desde palitos y cortes, guijarros, conchas y cocos, incisiones o muescas sobre un palo, hasta los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza.

La práctica del tallado en huesos o trozos de madera es antiquísima. Según Ifrah (1998: 169), los primeros testimonios arqueológicos de ello datan de 35000 -20000 a. C. y se trata de un numeroso conjunto de huesos, cada uno marcado con una o varias series de muescas regularmente dispuestas, la mayoría encontrados en Europa occidental. Así, Boyer (1996: 22) menciona el descubrimiento, en Checoslovaquia, de un hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el que aparece una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco. Ifrah (1998: 170-172) nos habla del hallazgo, en Brassempouy, Las Landas, de un punzón de asta de reno que tiene una talla longitudinal intercalada entre dos series de muescas transversales regularmente dispuestas, repartidas cada una en dos grupos: tres y sietes trozos por un lado, cinco y nueve por el otro.

Además de la práctica del tallado, el hombre pudo también recurrir a otros muchos intermediarios materiales: conchas, guijarros, frutos duros, dientes de elefante, nueces de coco, etc. con los que hacía montones o hileras correspondientes-a la cantidad que se necesitaba enumerar. Según Ifrah (1998: 58), muchos pueblos primitivos hacen lo mismo, pero empleando su propio cuerpo. Gilí (citado por Ifrah (1998: 58)) menciona que algunos isleños del estrecho de Torres « se tocan los dedos uno a uno, luego la muñeca, el codo y el hombro del lado derecho del cuerpo, luego el esternón, las articulaciones del lado izquierdo, sin olvidar los dedos de esa mano. Llegan así a 17. Si eso no basta, añaden los dedos de los pies, el tobillo, la rodilla y las caderas (de ambos lados). Obtienen así 16 más, por tanto 33 en total. Por encima de ese número, se ayudan con un paquete de palillos ». Otros isleños del estrecho de Torres emplean un procedimiento análogo con el que consiguen llegar hasta 19. Asimismo, los indígenas de las islas Murray se relacionan de igual forma con cierto números de partes del cuerpo llegando de esta forma hasta 29.

Una vez enumerado el grupo de objetos observados, tiene su aparición la numeración a través de un lenguaje articulado (escrito o hablado). Según Collette (1985: 7), la numeración presentará variantes según las tribus, debido a dos factores: primero, el lenguaje de la tribu determina las palabras de carácter numérico y, segundo, el medio en el que la tribu evoluciona determina el tipo de individuo y las necesidades específicas.

Sin embargo, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el pensamiento del que enumera. En esta etapa, el hombre primitivo, que asocia a tres objetos tres palabras distintas, no puede, sin palabras, pensar en el número tres. Según Collette (1985: 8), eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener más que el elemento numérico al que corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva se adquiere progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importes: el número cardinal y el ordinal. Se trata de dos aspectos complementarios de la noción de número: el cardinal, que sólo se basa en el principio de emparejamiento, y el ordinal, que exige a la vez el proceso de emparejamiento y el de sucesión. Según Guedj (1998: 21) « ambas funciones, la cardinal y la ordinal, son inseparables. En la visión ordinal el número es visto como el eslabón de una cadena; en la visión cardinal, es cantidad pura. El cardinal mide, el ordinal ordena ». Según Dantzig (citado por Ifrah (1998: 78)) « hemos aprendido a pasar tan fácilmente del número cardinal al ordinal que ya no distinguimos esos dos aspectos del número entero. Cuando queremos determinar la pluralidad de objetos de un grupo, es decir, su número cardinal, ya no nos atenemos a la obligación de encontrar un conjunto modelo con el que podamos compararlo, simplemente lo "contamos". Y nuestros progresos en matemáticas se deben al hecho de haber aprendido a identificar esos dos aspectos del número ».

Según Collette (1987: 8), el hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las relaciones siguientes: primero, la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña ningún papel en la numeración; segundo, el orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el número cardinal; y tercero, el último elemento contado corresponde al número cardinal de la colección.

Consecuentemente, el paso difícil de dar consiste en reconocer al último elemento contado como aquél que expresa "cuántos elementos contiene el conjunto que se puede contar". ¿A qué nivel las tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes citadas? Según Collette (1985: 8) « esta pregunta permanecerá probablemente sin respuesta debido a la ausencia de documentos relativo a estas cuestiones ». Sin embargo, se puede observar, entre las tribus primitivas de comienzos de siglo XX, numerosas dificultades a la hora de contar: no se entienden, en general, más allá de los números 1 y 2 ó 1, 2 y 3. Según Lubbock (1987: 402,403) los buchmanos y los indios de los bosques brasileños eran incapaces de contar más allá de dos. Asimismo, los indígenas del cabo York tienen nombre para los números 1, 2 y 3, mientras que para cuatro dicen "ungatua", es decir "toda" (sobreentendiendo la mano). Veamos, a continuación, un relato que hace Galton (citado por Lubbock (1987: 403-405)) a cerca de las dificultades que ofrecen el lenguaje y la aritmética de los damaras.

« En la práctica los damaras no usan ningún número superior a tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a los dedos, que para ellos son instrumentos de cálculo tan formidable como el contador para un escolar. Pasando de cinco, se embrollan a falta de mano libre para coger y asegurar los dedos, que han de hacer veces de unidades. A pesar de todo rara vez pierden un buey; pero no es porque descubran la pérdida, sino por la ausencia de una figura conocida. Cuando venden carneros, hay que pagarles cada uno por separado; supóngase que el precio de un carnero sean dos rollos de tabaco; pues de seguro se desconcertaría un damara si cogieseis dos carneros y le dieseis cuatro rollos. Yo lo hice una vez, y vi al hombre poner aparte dos rollos, y mirar a uno de los carneros que estaba a punto de vender. Convencido de que uno de ellos estaba debidamente pagado, y advirtiendo con sorpresa que le quedaban exactamente dos rollos para cobrar el segundo, le asaltaron las dudas (...)y acabó por romper el trato, hasta que al fin le puse en la mano dos rollos, y separé el segundo carnero ». « Una vez que observaba yo a un damara enredado desesperadamente en una cuenta, a un lado mío, vi al otro lado a mi podenca Dinah, no menos apurada. Examinaba atentamente media docena de cachorros recién nacidos, que se le habían quitado dos o tres veces, y era excesiva su ansiedad, mientras procuraba darse cuenta de si estaban todos presentes o le faltaba alguno todavía. El animal se deshacía, recorriéndolos con la mirada, y yendo de una a otra parte, sin quedar satisfecho. Evidentemente tenía, aunque vaga, la idea de contar; pero la cifra era demasiado considerable para su cerebro. Contemplado así los dos, perro y damara, el hombre no salía muy favorecido en la comparación ».

Según Conant (1968: 21), estos hechos « deben disuadir al matemático de su empeño en situar su investigación sobre el origen del número en una época demasiado remota. Algunos filósofos han intentado establecer ciertas proposiciones respecto a este problema, pero no han conseguido llegar a un acuerdo. Whewell ha mantenido que "proposiciones como dos y tres son cinco, que son ciertas necesariamente, contienen un elemento de certeza más allá de lo que la mera experiencia puede darnos". Por otra parte, Mili arguye que una afirmación de esta clase expresa simplemente una verdad que se deriva de una experiencia primitiva y constante; es esta opinión es apoyado calurosamente por Tylor». Para Conant, el origen del número parece estar más allá de los propios límites de la investigación; su concepción primitiva reside en los fundamentos del pensamiento humano.

Los testimonios anteriormente mencionados ilustran bien la dificultad inherente al proceso de enumeración y destaca también un elemento importante, susceptible de prolongar la numeración de una colección de objetos. Se trata de la noción de "agrupamiento" o "base" que permite, agrupando los objetos por conjuntos, conseguir aumentar considerablemente el número de objetos contados. Así, las tribus primitivas emplearon agrupamientos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco, de seis en seis, de ocho en ocho, de diez en diez, de doce en doce, de veinte en veinte y de sesenta en sesenta, entre otros.

Según Boyer (1996: 22), primero se utilizó el agrupamiento de dos en dos, después el de cuatro en cuatro y de seis en seis, mientras que ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres. En esta opinión es apoyado por Collette. (1985: 9). Sin embargo, los sistemas quinario y decimal desplazaron de una manera casi invariable a los esquemas anteriores. Struik (citado por Collette (1985: 10)) cita una investigación emprendida por la Universidad de Stanford sobre 307 sistemas de numeración que se encuentran en las tribus primitivas americanas. De estos sistemas, 146 pertenecen a los agrupamientos de diez en diez, 106 a los agrupamientos de cinco y diez, 81 son binarios, 35 son de base veinte y de base cinco y veinte, 15 pertenecen a los agrupamientos de cuatro, 3 son agrupamientos de tres y uno sólo corresponde a la base ocho.

Un sistema muy natural y en boga es el correspondiente a los dedos de la mano y puede implicar agrupamientos de cinco en cinco (dedos de una mano), de diez en diez (dedos de las dos manos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos).

La base cinco fue tomada por pueblos que aprendieron a contar con una sola mano. Ifrah (1998: 127) nos muestra cómo en algunas regiones de África y Oceanía cuentan manualmente: « primero se cuentan las cinco primeras unidades extendiendo sucesivamente los dedos de la mano izquierda. Una vez alcanzado ese número se despliega el pulgar derecho, y luego se continúa contando hasta diez extendiendo de nuevo los dedos de la mano izquierda, tras lo cual se despliega el índice derecho para registrar las unidades suplementarias ya consideradas. Se puede contar de esa manera hasta 25. Y si no basta, se puede prolongar la operación hasta 30, acudiendo una vez más a los dedos de la mano izquierda ». Ejemplos de lenguas que han conservado la base cinco son las lenguas caribe y arawak, en América; el guaraní, en América del Sur; el api y huaylú, en Oceanía; el peulo, wolof, serere, mandé, krou y voltaicas, en África; y el jemer, en Asia (Ifrah (1998: 108)).

Diversos pueblos, al darse cuenta de que inclinándose un poco podían contar, además de con los dedos de las manos, con los de los pies, adoptaron la base veinte. Así, según Ifrah (1998: 125), los cinco primeros nombres de número pueden ser asociados a los cinco dedos de la mano, los cinco siguientes a los cinco dedos de la otra, los cinco siguientes a los cinco dedos del pie, y los cinco últimos a los cinco dedos del otro pie. Por ejemplo, según Lubbock (1987: 406) los indios zamucas y muiscas para cinco dicen "mano acabada". Para seis, "uno de la otra mano". Para diez, "dos manos acabadas" o a veces "pie". Once es "pie-uno", doce, "pie-dos", y así sucesivamente; veinte es "pies acabados", o en otros casos "hombre", porque un hombre tiene diez dedos en las manos y otros diez en los pies, lo que hace en junto veinte. Ejemplos de lenguas que han conservado la base veinte son lo tamamos de Orinoco, esquimales de Groenlandia, los aínos, zapotecas y mayas (Ifrah (1998: 108)).

La base diez, por su parte, fue la más difundida de todas y su adopción es hoy día casi universal. Como hizo observar Aristóteles hace ya largo tiempo, lo extendido de ésta no es sino la consecuencia del accidente anatómico de que la mayor parte de nosotros nacemos con diez dedos en la mano y otros diez en los pies (Boyer (1996: 21)). Además, la base decimal presenta una ventaja muy clara sobre otras bases, y es que los nombres de número o los símbolos que exige son relativamente poco numerosos, y una tabla de sumar y multiplicar, por poner un ejemplo, puede aprenderse de memoria sin apenas esfuerzo.

Una vez comprendida la noción de agrupamiento, es natural que el hombre primitivo asigne entonces un símbolo particular al agrupamiento utilizado: inventará así su sistema de numeración.

Según Collette (1985: 10,11) existen varios procedimientos utilizados durante la prehistoria que dieron lugar a los diferentes sistemas de numeración. El primero consiste en prolongar el agrupamiento añadiendo unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo emplea los cinco dedos de su mano izquierda como agrupamiento, utilizará uno a uno los dedos de su mano derecha (o los pies) para prolongar la cuenta hasta diez. Otro procedimiento consiste en utilizar el principio de la repetición en la numeración de los objetos contados. Por ejemplo, según Lubbock (1987: 402), los indígenas del Errub y algunos del cabo York emplean el sistema repetitivo siguiente: "netat" (uno), "naes" (dos), "naes-netat" (tres), "naes-naes" (cuatro), "naes-naes-netat" (cinco), "naes-naes-naes" (seis). El tercer método, muy poco empleado durante la prehistoria, se basa esencialmente en el principio de posición: cualquier símbolo posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de símbolos que representa un número u otro. El ejemplo por excelencia es nuestro sistema decimal. Según Collette (1985: 11), el desarrollo de los sistemas de numeración de la época prehistórica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no posicional.

Ya en este punto, es interesante preguntarse si existe en los animales el sentido de "número", esto es, si son capaces de reconocer y memorizar cantidades, aunque sean pequeñas. Responder a esta pregunta es importante no sólo porque nos revela la conducta de ciertos animales, sino más aún porque amplía nuestros conocimientos sobre la naturaleza del pensamiento, sobre el concepto y origen del número y sobre las bases psicológicas del pensamiento matemático.

El hombre posee un tipo de facultad que le permite tener el sentido de número: éste le confiere la posibilidad de advertir que algo ha cambiado en una pequeña colección cuando un objeto ha sido retirado o añadido sin que él haya tenido conocimiento previo de ello. Darwin, en su Descent of Man, afirma que algunos de los animales superiores tienen facultades (como memoria y alguna forma de imaginación), y cada vez resulta más claro que la capacidad para distinguir número, tamaño, orden y forma no son propiedad exclusiva del género humano. Según Feller (citado por Ifrah (1998: 34)), el estudio del comportamiento animal es relativamente nuevo, y nació «del deseo de los psicólogos de definir al hombre no sólo comparándolo con sus semejantes, sino además situándolo en el conjunto de los seres vivos. El animal proporciona un material de experiencia paciente, fácil de controlar. Con él se pueden variar hasta el infinito las condiciones de la experiencia y llevarla hasta sus límites. Ingeniosos estudios han permitido iluminar qué acciones lograba realizar el animal, desde las reacciones reflejas hasta las complejas funciones cerebrales, tales como la capacidad de aprendizaje, la memoria e incluso el lenguaje o el razonamiento ».

Los experimentos científicos llevados a cabo por el notable zoólogo O. Koehler parecen demostrar que los pájaros (Koehler experimentó con pájaros), en particular, y ciertos animales, en general, se hallan más o menos dotadas del sentido del número. Según Koehler (1968: 82), «nuestros pájaros no cuentan porque necesitan palabras, no pueden dar nombre a los números que perciben y con los que trabajan, pero sí se puede decir que piensan en "números sin nombre"». Para Koehler (1968: 83,84) el hombre tiene dos habilidades pre-lingüísticas en común con los pájaros. La primera es que puede comparar grupos de unidades presentadas simultáneamente sólo con ver los números de estas unidades y excluyendo todos los demás datos. Así, a un cuervo y a un papagayo se les presentaron cinco cajas tapadas con 2,3,4,5 y 6 manchas cada una, la llave era una tapa con uno de estos números de manchas y estaba en el suelo frente a estas cajas. Ambos pájaros abrieron sólo la que tenía cinco manchas, o sea, el mismo número que contenía la llave modelo. La segunda habilidad es recordar números de incidentes correlativos y así guardar en su mente los números presentados sucesivamente en el tiempo. Así, se ejercitaba a los pájaros dándoles sólo para comer "X" granos, hasta que, sin ayuda alguna, de un gran número de granos siempre comían la misma cantidad determinada.

Otras experiencias llevadas a cabo con avispas, cuervos, cornejas, jilgueros, etc. apoyan la tesis de que algunas especies animales se hallan más o menos dotadas del sentido del número, aunque circunscrito a límites muy estrechos, reduciéndose a lo que una percepción inmediata permite reconocer de un vistazo. Sin embargo, ningún animal sabe ni puede contar, pues como subraya E. Goblot (citado por Ifrah (1998: 37)) « esa abstracción, que distingue la cantidad de las cosas de sus cualidades, es una característica específica de la inteligencia humana ». La facultad de contar en abstracto indica un proceso mental muy complejo y constituye una adquisición relativamente reciente de la inteligencia humana.

No me gustaría terminar sin mencionar la influencia que tuvo en esta época la astronomía y la religión en los números.

En cuanto a la astronomía, los pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos relativos al sol, la luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola debía llevar la cuenta de los días y de las noches, así como las distintas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan un calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegetación y poseer unidades de tiempo útiles y convenientes. Así, Ifrah (1998: 73) nos muestra una representación del "calendario lunar" usado antiguamente por indígenas del antiguo Dahomey, en África. Se trata de una franja de tejido que lleva cosidos treinta objetos (granos, pipas, conchas, piedras, etc.) alineados en sentido longitudinal, y cada uno representando uno de los treinta días del período así simbolizado.

En cuanto a la religión, es indispensable subrayar su influencia sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en el de las acciones diarias del hombre primitivo. Usualmente se supone que los números aparecieron para responder a necesidades prácticas del hombre, pero hay estudios antropológicos que sugieren la posibilidad de un origen ritual. En un artículo aparecido en 1962, Seidenberg (citado por Collette (1985: 15,16)) pretende demostrar que el arte de contar pudo aparecer en conexión con ciertos rituales religiosos primitivos: en los ritos ceremoniales que escenifican los mitos de la creación era necesario llamar a los participantes a escena en un orden preciso y determinado, y quizá la numeración se inventó para resolver este problema. Así, partiendo de la hipótesis de que una sucesión definida de palabras acompañada de una actividad familiar en la que la estas palabras son empleadas constituyen los elementos esenciales para contar, emprende la demostración de la siguiente conjetura: primero, los nombres de los participantes de un ritual son de carácter numérico y, segundo, la base utilizada correspondería al número de personas de un ritual fundamental y la necesidad de utilizar números altos provendría de la continua repetición de este ritual de base. Se propone explicar, utilizando el testimonio de la historia, la procesión ritual, la procesión ritual por pares, la presencia en escena de los participantes en el ritual y la llamada que toma forma de número. Como conclusión, el autor, que considera el mito como la forma de las palabras asociadas al rito, pretende que el hecho de contar era con frecuencia el elemento central de un ritual y que se contaban los participantes en el mismo. Esto le hace sugerir la hipótesis de que la cuenta fue inventada como un medio de llamar a escena a los participantes de un ritual. Según Boyer (1996: 23,24) « si son correctas las teorías del origen ritual de la numeración, entonces el concepto de número ordinal puede haber precedido al de número cardinal. Por otra parte, un origen de este tipo tendería a apuntar a la posibilidad de que la numeración surgiera en un origen local único, para extenderse después a otros lugares de la tierra. Este punto de vista, aunque está aún lejos de estar bien establecido, estaría en armonía con la división ritual de los números enteros en pares e impares, considerando a los primeros como femeninos y a los segundos como masculinos ».

En conclusión, nosotros sólo podemos hacer conjeturas acerca de qué fue lo que impulsó al hombre primitivo a contar, pero lo que está claro es que los orígenes de los números son más antiguos que las civilizaciones más antiguas. « Ir más lejos e identificar categóricamente un origen concreto en el espacio o tiempo sería tomar, de manera equivocada, conjetura por historia ». (Boyer 1996:22)

CONANT, L. L.
1968 "Contar". En: Sigma: el mundo de las matemáticas (Selección de textos matemáticos de odos los tiempos, con notas y comentarios por James R. Newman). Barcelona, Grijalbo. Volumen 4. pp: 20-29

GUEDJ, D.
1998 El imperio de las cifras y los números. Barcelona, Ediciones B.

IFRAH, G.
1998 Historia universal de las cifras: la inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo. Madrid, Espasa, D.L.

KOEHLER, O.
1968 "La capacidad de los pájaros para contar". En: Sigma: el mundo de las matemáticas (Selección de textos matemáticos de todos los tiempos, con notas y comentarios por James R. Newman). Barcelona, Grijalbo. Volumen 4. pp: 80-86

LUBBOCK, J.
1987 Los orígenes de la civilización y la condición primitiva del hombre. Barcelona, Alta Fulla.