En 1673, Christiaan Huygens publica su obra Horologium Oscillatorium en la que describe la construcción de un reloj de péndulo isócrono, esto es, un reloj basado en un péndulo cuyo periodo de oscilación es independiente de la amplitud de la oscilación. Entre otras anécdotas, describiremos la relación que conecta la curva cicloide con la construcción del péndulo isócrono y analizaremos el planteamiento matemático y resolución del problema de la curva tautócrona.

♣ Una breve introducción

♣ La propiedad tautócrona de la cicloide

♣ La cicloide como curva envolvente

♣ El péndulo isócrono de Huygens

♣ Deducción del periodo y la ecuación diferencial del péndulo circular

♣ Abel y la generalización del problema de la tautócrona

Una breve introducción

Una curva se dice tautócrona (o isócrona) si tiene la propiedad de que un objeto material que se desplace uniformemente en caída por efecto de la gravedad y sin rozamiento a través de ella hasta un punto dado de la misma, lo hace en el mismo tiempo independientemente de la posición inicial del objeto. Del griego, tauto significa igual, mientras que cronos significa tiempo. Nuestro primer objetivo en este escrito será verificar que la curva cicloide posee la mencionada propiedad tautócrona.

Christiaan Huygens

Christiaan Huygens fue pionero en demostrar que la curva cicloide satisface la propiedad tautócrona y en su obra Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae (París, 1673) da una demostración geométrica de este hecho. En este escrito veremos cómo Huygens aplica el hecho de que la evoluta de una curva cicloide es otra cicloide en la construcción de péndulos isócronos. Ya en 1690, Jakob Bernoulli publicaría un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral.

Posteriormente, en 1823 Niels Henrik Abel propone una generalización del problema de la tautócrona. Más concretamente, Abel plantea la cuestión de determinar la curva tal que un objeto material que se desplace uniformemente en caída por efecto de la gravedad y sin rozamiento a través de ella hasta un punto dado de la misma, lo haga en un tiempo prefijado de antemano para cada altura posible desde la que deba caer el objeto. Claramente, si se exige que el tiempo de caída sea independiente de la altura desde la que debe caer el objeto entonces se obtiene el problema original de la tautócrona. Finalizaremos este escrito indicando los aspectos fundamentales de la solución propuesta por Abel a este problema más general.

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La propiedad tautócrona de la cicloide

Consideremos las ecuaciones paramétricas de la curva cicloide

(1)

y supongamos que un objeto corresponde al punto de la cicloide, con . Entonces el tiempo que tarda el objeto en ir desde hasta el punto mínimo es independiente de su posición, esto es, de . De hecho veremos que

Para ello consideramos dos puntos y sobre la curva cicloide, de modo que , se mantiene fijo y varía entre y (ver Figura 1).

Figura 1: Tiempo de caída a lo largo de un arco de cicloide.

Si denota la longitud de arco a lo largo de la curva entonces se tendrá que

Si denota la velocidad de caída del cuerpo, entonces según la ley de conservación de la energía mecánica se tendrá que , esto es,

.
En consecuencia, el tiempo que el objeto tarda en ir de a será

Sin embargo, y por tanto

Efectuando el cambio de variable llegamos a que

Ahora, efectuando el cambio de variable , se obtiene que

(2)

Nota: Ver en la Figura 1 que si el cuerpo se desplazara en caída libre desde la posición hasta el punto mínimo de la cicloide , entonces el tiempo de caída vertical cumpliría esto es,

Luego, y la razón entre el tiempo de descenso mínimo a lo largo de una cicloide y el tiempo de caída a lo largo del eje vertical es igual a la razón entre la semilongitud y el diámetro de la circunferencia que genera la cicloide.

En el escrito correspondiente a la propiedad braquistócrona se demostró que la curva cicloide minimiza el tiempo que un objeto tarda en desplazarse sin rozamiento entre dos puntos dados. Aquí hemos visto que en el caso de que uno de dichos puntos sea el punto mínimo de la cicloide entonces dicho tiempo es igual a , siendo el radio de la circunferencia que genera la cicloide y la aceleración de la gravedad. A priori puede causar cierta sorpresa el hecho de que la curva minimizante del tiempo no sea una recta, teniendo en cuenta que la recta minimiza la distancia entre dos puntos del plano. A continuación veremos de modo muy simple que en efecto el tiempo necesario para cubrir la distancia entre dos puntos a través de una recta es superior al tiempo que se tarda en recorrer la distancia a través de una curva cicloide. Para ello sólo necesitaremos unos pocos conocimientos de la mecánica newtoniana que se estudia en la educación secundaria.

Consideremos, como en la Figura 2, el plano inclinado definido por los puntos y , y supongamos que un objeto de masa cae a través de dicho plano sin rozamiento. En virtud de la segunda ley de Newton se tendrá que , siendo la aceleración de caída del objeto y el módulo de la componente del peso del objeto paralela al plano de caída. Por tanto la aceleración de caída del objeto por el plano inclinado viene dada por

Figura 2: Tiempo de caída a lo largo de un segmento de recta.

.
Finalmente, puesto que el objeto parte del reposo desde la posición tendremos la siguiente relación entre la distancia recorrida a lo largo del plano inclinado y tiempo empleado: , siendo Esto nos permite afirmar que el tiempo de caída a lo largo del segmento de recta toma el valor

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La cicloide como curva envolvente

.

Una propiedad interesante de la curva cicloide consiste en que su evoluta es otra cicloide. Notamos que la evoluta de una curva es la curva envolvente de la familia de rectas normales a la curva original en todos sus puntos, en el sentido de que dichas rectas normales son tangentes a la evoluta. Consideremos la cicloide de ecuaciones paramétricas

(3)

Sobre la curva anterior se tiene que

y por lo tanto la recta normal en un punto genérico de la curva tiene por ecuación cartesiana

Así pues, la familia de rectas normales a la cicloide de ecuaciones paramétricas (3) viene dada por

.

(4)

.

Para obtener la ecuación de la curva envolvente debemos derivar esta última ecuación respecto del parámetro , y despejar las variables e en función de . Derivando (4) respecto de sigue que

(5)

Multiplicando (4) por , y (5) por podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la envolvente

(6)

que representa una curva cicloide del mismo tipo que la definida por (3) pero con origen trasladado al punto . Así cada recta normal a la cicloide de partida es una recta tangente a la cicloide envolvente en algún punto determinado (ver Figura 3). Notemos que a partir de (6) se tiene que

que se corresponden con las ecuaciones paramétricas (3) con el parámetro trasladado módulo .

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El péndulo isócrono de Huygens

El hecho de que la evoluta de una cicloide sea otra curva cicloide junto con la propiedad de tautocronía tiene una curiosa aplicación a la construcción de péndulos isócronos, esto es, péndulos cuyo periodo de oscilación es independiente de la amplitud con la que se realice el movimiento del péndulo.

Consideremos un punto genérico perteneciente a la cicloide de ecuaciones paramétricas (3) y denotemos por al punto de intersección de la normal (4) trazada desde con la evoluta de ecuaciones (6). Además, llamemos al vértice de la evoluta más próximo a , esto es, el punto de coordenadas () más próximo a (ver Figura 3). Entonces se verifica que la suma de la longitud del segmento que une y con la longitud del arco de evoluta que une y es constante; más concretamente,

(7)

siendo el radio de la circunferencia que genera la cicloide original.


En efecto, si , pertenece a la cicloide original (3) entonces corresponde a la intersección de la recta normal por a la cicloide con la evoluta (6). Por tanto,

Además el arco de curva a lo largo de la evoluta (6) viene dado por

En definitiva, las dos igualdades anteriores permiten deducir la anteriormente anunciada propiedad (7).

Péndulo Isócrono

A mediados del siglo XVII era bien conocido que si a un péndulo de trayectoria circular se le variaba la amplitud de oscilación entonces dejaba de medir correctamente el tiempo (puesto que se altera también el periodo de su oscilación). Pensemos por ejemplo en un péndulo circular sometido a alteraciones en su oscilación que se halle ubicado en un barco en movimiento o en cualquier móvil que describa un movimiento variado. Por entonces, los avances científicos requerían urgentemente relojes precisos para realizar mediciones en áreas tan diversas como la Física, la Astronomía y muy especialmente la navegación. Al respecto de la navegación, un problema fundamental era el llamado problema de la longitud, que trataba sobre la determinación de la posición de barcos en alta mar. La latitud podía ser calculaba sin excesiva dificultad mediante observación astronómica. La altura del sol sobre el horizonte al mediodía permite obtener la distancia en grados de latitud desde el ecuador. De este modo, midiendo la elevación del Sol o, en el caso del hemisferio norte terrestre, midiendo la posición de la estrella Polar en una noche, podía determinarse la latitud con cierta exactitud.

No obstante, el problema del cálculo de la longitud resultaba mucho más complejo. Notemos que una estrella en particular no puede tomarse como referencia por sí sola por cuanto la esfera celeste está en continuo movimiento de rotación. Para poder determinar la longitud resultaba necesario medir la posición de una cierta estrella en un instante determinado, lo cual requiere dos mediciones: una relativa al tiempo local y otra relativa a la del tiempo en el lugar de referencia. A mediados del siglo XVII era prácticamente imposible conocer la hora local y la hora de referencia al mismo tiempo ante la imprecisión de los relojes en alta mar a causa de las continuas perturbaciones. Dicho de otro modo, era necesario disponer de un reloj de una precisión suficiente para poder determinar la longitud. Cuando se tiene un reloj preciso, entonces la diferencia de tiempo entre el momento en que el sol alcanza su punto más alto en un lugar y el momento en que lo alcanza en otro lugar puede entonces usarse para obtener la distancia angular entre esos dos lugares.

Horologium Oscillatorium

Christiaan Huygens cayó en la cuenta de que un péndulo basado en la curva cicloide no se vería afectado por variaciones en la amplitud de su oscilación debido a la propiedad de tautocronía de la cicloide. Es decir, aunque la amplitud de la oscilación fuera puntualmente modificada, el periodo de oscilación del péndulo no se vería afectado y su valor seguiría siendo . La propiedad (7) fue utilizada por Huygens para idear un mecanismo de construcción de un tal péndulo isócrono basado en la cicloide a partir de una cuerda de longitud , de tal modo que el péndulo era forzado a moverse a lo largo un arco de cicloide. La construcción de un péndulo isócrono puede verse en la obra Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae , C. Huygens, París, 1673. Para ello se fija un extremo de la cuerda como vértice de la evoluta de la cicloide que se desea describir (ver Figura 4). El mecanismo consiste en desplazar un punto variable de la cuerda a lo largo de la evoluta mientras el extremo libre de la cuerda oscila siguiendo una curva cicloide. Desafortunadamente el péndulo ideado por Huygens resultó poco útil en la práctica debido a que el rozamiento de la cuerda a lo largo de los arcos de la cicloide causaba un error superior al que se trataba de corregir en la medición del tiempo.

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En relación con el péndulo isócrono comentado anteriormente, veamos cómo obtener el periodo de un péndulo circular así como la ecuación diferencial que rige su movimiento. Suponemos una cuerda inextensible de masa despreciable y longitud en cuyo extremo se encuentra un objeto de masa que oscila libremente bajo el efecto de la gravedad. Denotemos por al ángulo que forma la cuerda con la vertical en todo tiempo . Asumimos que la posición inicial corresponde a la posición vertical de la cuerda y que el movimiento del péndulo se inicia con velocidad angular rad/s.

En virtud de la segunda ley de Newton tendremos que , siendo la aceleración lineal del péndulo y la aceleración de la gravedad. Por otro lado, la longitud de arco () es igual al ángulo girado () multiplicado por la longitud () de la cuerda del péndulo (esto es, ). En consecuencia, la relación que liga la aceleración lineal con la aceleración angular del péndulo es , y así obtenemos la ecuación del péndulo

(8)

siendo . Notemos que la única componente del peso que produce el movimiento del péndulo es la componente perpendicular al eje que define la cuerda (ver Figura 5). Multiplicando por ambos miembros de la igualdad anterior e integrando obtenemos que

para cierta constante . Las condiciones iniciales implican que . Por tanto,

(9)

Debemos notar que la amplitud máxima del movimiento del péndulo se obtiene en el instante en que la velocidad angular es nula. Así

Sea el único ángulo positivo menor que tal que . Entonces, en virtud de (9), el periodo del péndulo circular vendrá dado por

(10)

Esta integral es impropia en el extremo , pero es convergente. Puede obtenerse su valor a través de un programa de cálculo simbólico. De hecho, si tomamos , , entonces rad, y el periodo vale

Notas:

1.- Para pequeñas oscilaciones del péndulo (esto es, para valores pequeños de ), la ecuación del péndulo (8) puede ser aproximada linealmente por

cuya solución es y tiene periodo

Ver que si hacemos , para cierta constante , entonces el periodo que se obtiene a partir de la ecuación del péndulo linearizada es el mismo que el periodo del péndulo de Huygens. Para los valores y se obtiene

2.- Si en la integral (10) se realiza el cambio de variables , de tal modo que

entonces se tiene que mientras que . Por otro lado, con un poco de calma podemos comprobar que

Por tanto, tendremos que el periodo del péndulo también se expresa como

siendo . Esta última integral corresponde a una integral elíptica de primera especie que puede ser evaluada usando, por ejemplo,
Mathematica con la sentencia EllipticF[Pi/2,K²], es decir,

3.- Finalizaremos este apéndice sobre la ecuación y el periodo del péndulo circular obteniendo la ecuación diferencial que describe el movimiento del péndulo en coordenadas cartesianas. Para ello tomaremos como punto de partida las ecuaciones (8) y (9). De este modo, si denota la posición en el plano del extremo libre del péndulo (ver Figura 5), entonces se tiene que

que nos permiten expresar las derivadas de en función de las derivadas de e del modo siguiente

De este modo la ecuación diferencial del péndulo en coordenadas cartesianas viene dada por

siendo la aceleración de la gravedad y la longitud de la cuerda del péndulo.

Como comentamos en la introducción, en 1823 Abel propone resolver el problema de determinar la curva tal que un objeto material que se desplace uniformemente en caída por efecto de la gravedad y sin rozamiento a través de ella hasta un punto dado de la misma, lo haga en un tiempo prefijado de antemano para cada altura posible desde la que deba caer el objeto. Más concretamente, dado un punto del plano , con y una función definida para , se trata de hallar la función que, pasando por los puntos y , cumple que el tiempo de caída de una partícula material que parta desde la posición de la gráfica hasta caer de manera uniforme al punto a través de la curva representativa de la función venga dado por el valor .

.

Consideremos la longitud de arco de curva que une los puntos de la gráfica y . Notemos que la función longitud debe ser decreciente como función del tiempo , si se admite que la partícula deba caer uniformemente hacia el origen. Entonces, en virtud del principio de conservación de la energía mecánica sigue que

.

.

siendo la masa del objeto y la velocidad de caída del objeto en el punto de la gráfica . Ya que la longitud decrece con el tiempo resulta entonces que debe considerarse negativa. Así pues, sigue de la última ecuación que

.

Integrando desde hasta obtenemos el tiempo de duración de la caída desde la posición inicial , esto es,

.
.

Detengámonos por un momento en esta última ecuación. La resolución de dicha ecuación pasa por obtener la función que aparece en el integrando partiendo del conocimiento de la función que da el tiempo de caída para cualquier altura . Esta ecuación se conoce como ecuación integral de Abel (una ecuación integral es aquella en la que la función incógnita aparece bajo el signo de la integral). En terminología actual, se dice que la ecuación (11) es una ecuación íntegro-diferencial de Volterra lineal de primera especie y tipo convolución.

.

En particular, si la función dato es una constante en toda altura , entonces el problema de Abel se reduce al problema de la tautócrona. En este caso tendremos que hallar la función (o las funciones) que verifican la ecuación

.
(11)
.

El método más directo para resolver esta ecuación integral se basa en la aplicación de la transformación integral de Laplace. No obstante dejaremos estos detalles para el final de este apartado y anticipamos que la única solución regular a la ecuación (11) es

Así pues, se deduce que . Puede comprobarse por sustitución directa en la integral (11) que, efectivamente, la función resuelve el problema. Ahora bien, teniendo en cuenta que

.

obtenemos elevando al cuadrado que , siendo Además el planteamiento de caída uniforme nos dice que la función debe ser creciente. Esto implica que

.

.

Esta ecuación diferencial es la misma que obteníamos al resolver el problema de la braquistócrona . En particular podemos efectuar el cambio de variable para obtener por integración las ecuaciones paramétricas

.
que representan una cicloide (invertida) generada por una circunferencia de radio

Nota: Veamos finalmente cómo resolver la ecuación integral (11) por medio de la transformación integral de Laplace. Partiendo de (11) y denotando por la convolución de funciones

Si la función tiene por transformada de Laplace la función , entonces la última ecuación en se convierte en el espacio transformado en la ecuación funcional algebraica en la variable

Puesto que sigue que . Deshaciendo la transformación obtenemos entonces la función: